Question

1. В ДАВС проведены биссектрисы AL u BK. Найдите длину отрезка KL, если AB = 15, AK=7,5, BL = 5.​

Answer 1

Ответ:

$\sf KL = \sqrt{36,25}$

Объяснение:

УСЛОВИЕ: В ΔАВС проведены биссектрисы AL и BK. Найдите длину отрезка KL, если AB = 15, AK=7,5, BL = 5.​

НАДО ЗНАТЬ:

Свойство биссектрисы: В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Дано: ΔАВС, AL и BK - биссектрисы, AB = 15, AK=7,5, BL = 5.​

Найти: KL

РЕШЕНИЕ:

Обозначим КС = х, LС = у.

Тогда:

АС = АК + КС = 7,5 + х

ВС = BL + LC = 5 + y

1.

Так как BK - биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника имеем:

$\dfrac{AB}{BC} =\dfrac{AK}{KC}$

$\dfrac{15}{5+y}=\dfrac{7,5}{x}$

$x=\dfrac{7,5(5+y)}{15}$

$x=\dfrac{5+y}{2}$

2.

Так как AL - биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника имеем:

$\dfrac{AB}{AC} =\dfrac{BL}{LC}$

$\dfrac{15}{7.5+x} =\dfrac{5}{y}$

7,5 + x = 3y

x = 3y - 7,5

3.

Решим уравнение, найдём у.

$\dfrac{5+y}{2}=3y-7,5$

5 + y = 6y - 15

-5y = -20

y = 4

$\boxed{LC = 4}$

Тогда х = (5+4)/2 = 4,5

$\boxed{KC=4,5}$

4.

Получили: АС = 7,5 + 4,5 = 12, ВС = 5 + 4 = 9.

Обратная теорема Пифагора:

• Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является прямым.

Таким образом, если выполняется равенство АВ² = АС² + ВС², то ∠С=90°.

Проверяем:

15² = 12² + 9²

225 = 144 + 81

225 = 225  - верно, ⇒ ∠С=90°

5.

Рассмотрим прямоугольный ΔKLC (∠С=90°).

По теореме Пифагора найдём гипотенузу KL:

KL² = КС² + LC²

KL² = 4,5² + 4² = 20,25 + 16 = 36,25

KL = √36,25

#SPJ1