Предмет: Математика, автор: nikitoska31

Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в данный круг радиусом  R, наибольшую площадь имеет квадрат.

Ответы

Автор ответа: M0RDOK
0
Пишем функцию площади от длины стороны прямоугольника:
S(x)=xcdot y\
x^2+y^2=(2R)^2    =>y=sqrt{4R^2-x^2} \
S(x)=xsqrt{4R^2-x^2}
Находим экстремум:
S'(x)=sqrt{4R^2-x^2}-frac{x^2}{sqrt{4R^2-x^2}}=frac{4R^2-2x^2}{sqrt{4R^2-x^2}}\
S'(x)>0    <=>    2R^2>x^2    <=>    x in(-sqrt{2}R,sqrt{2}R)
Так, как x это длина стороны он не может получать отрицательные значения, следовательно экстремум всего один x=sqrt{2}R
Находим y (хотя одного отношения радиуса к стороне достаточно, чтоб сказать что фигура - квадрат):
y=sqrt{4R^2-x^2}  :  x=sqrt{2}R   =>    y=sqrt{4R^2-2R^2}=sqrt{2}R  \
x=y
Что и требовалось доказать.
Автор ответа: M0RDOK
0
Уточняю на всякий случай: диагональ вписанного прямоугольника равна диаметру.
Похожие вопросы
Предмет: Информатика, автор: Аноним