Question

Докажите, что 2 cos x cos y = cos (x+y) + cos (x-y)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

По формуле приведения для косинусов мы знаем, что cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b и cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b.

Рассмотрим выражение 2 cos x cos y:

2 cos x cos y = (cos x + cos y)(cos x + cos y) - (sin x + sin y)(sin x - sin y)

= cos^2 x + cos x cos y + cos x cos y + cos^2 y - (sin^2 x - sin^2 y)

= cos^2 x + 2 cos x cos y + cos^2 y - (sin^2 x - sin^2 y)

Учитывая основное тригонометрическое тождество sin^2 x + cos^2 x = 1, получаем:

= 1 + 2 cos x cos y + 1 - (sin^2 x - sin^2 y)

= 2 + 2 cos x cos y - sin^2 x + sin^2 y

Теперь рассмотрим выражение cos (x+y) + cos (x-y):

cos (x+y) + cos (x-y) = cos x cos y - sin x sin y + cos x cos y + sin x sin y

= 2 cos x cos y

Таким образом, мы убедились, что 2 cos x cos y = cos (x+y) + cos (x-y).

Используя данную информацию, мы можем подтвердить равенство без применения специальных знаний или предположений. Просто подставим значения в уравнение и выполним несколько простых алгебраических операций для доказательства того, что выражения равны.