Question

Если $\displaystyle \int\limits ^{2,4}_0 [x^2] \, dx = \alpha +\beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3} + \delta \sqrt{5}$
То чему равно $\alpha + \beta + \gamma + \delta$
[] - выделяют наибольшую целую часть числа, не превосходящую само число
Обязательно с решением

Answer 1

Ответ:

7.

Объяснение:

Сначала о том, почему в таком виде условие не является корректным. Приведу пример. Скажем, требуется найти a и b такие, что

                                        $0=a\sqrt{2}+b\sqrt{3}.$

Такая задача имеет бесконечное множество решений. Приведу два из них:                       a=0, b=0, и $a=\sqrt{3}, b=-\sqrt{2}.$

Осмысленной задача становится, если искать решение в целых числах. Будем считать, что автор просто забыл об этом написать.

Переходим к решению задачи. Поскольку [x²] равен 0 на промежутке [0;1), 1 на промежутке [1;√2), 2 на промежутке [√2;√3), 3 на промежутке [√3;2), 4 на промежутке [2;√5), 5 на промежутке [√5; 2,4] (мы заменили √6 на 2,4, поскольку √6>2,4, а интегрировать нужно от 0 до 2.4). Далее мы можем или разбить интеграл на 5 интегралов, или просто вспомнить, что интеграл от положительной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции. В нашем случае, поскольку на первом промежутке функция равна 0, речь идет о суммировании площадей 5 прямоугольников:

       $1(\sqrt{2}-1)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+3(2-\sqrt{3})+4(\sqrt{5}-2)+5(2,4-\sqrt{5})=$

              $10-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}\Rightarrow\alpha=10;\ \beta=-1;\ \gamma=-1;\ \delta=-1;$

                                             $\alpha+\beta+\gamma+\delta=7.$