Question

За допомогою теореми Кронекера – Капеллі розв’язати системи
лінійних рівнянь
а)
{
1 − 2 + 23 + 34 = 0;
21 + 2 − 3 + 24 = 0;
1 − 22 − 3 − 4 = 0;
31 + 72 + 83 + 94 = 0

б)
{
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7;
31 + 22 + 3 + 4 − 35 = −2;
2 + 23 + 24 + 65 = 23;
51 + 42 + 33 + 34 − 5 = 12.

Answer 1

Теорема Кронекера – Капеллі стосується визначення рівнянь для того, щоб визначити, чи має система рівнянь розв'язок та, якщо має, то скільки.

а) Перша система рівнянь:
\[
\begin{cases}
1x_1 - 2x_2 + 23x_3 + 34x_4 = 0 \\
21x_1 + 2x_2 - 3x_3 + 24x_4 = 0 \\
1x_1 - 22x_2 - 3x_3 - 4x_4 = 0 \\
31x_1 + 72x_2 + 83x_3 + 94x_4 = 0
\end{cases}
\]

Для того щоб з'ясувати, чи існує розв'язок, розглянемо визначник матриці цієї системи рівнянь:

\[
\begin{vmatrix}
1 & -2 & 23 & 34 \\
21 & 2 & -3 & 24 \\
1 & -22 & -3 & -4 \\
31 & 72 & 83 & 94 \\
\end{vmatrix}
\]

б) Друга система рівнянь:
\[
\begin{cases}
1x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 + 5x_5 = 7 \\
31x_1 + 22x_2 + 3x_3 + 4x_4 - 35x_5 = -2 \\
2x_1 + 23x_2 + 24x_3 + 6x_4 + 5x_5 = 23 \\
51x_1 + 42x_2 + 33x_3 + 34x_4 - 5x_5 = 12 \\
\end{cases}
\]

Тут також потрібно розглянути визначник матриці системи рівнянь:

\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
31 & 22 & 3 & 4 & -35 \\
2 & 23 & 24 & 6 & 5 \\
51 & 42 & 33 & 34 & -5 \\
\end{vmatrix}
\]

Якщо визначник буде відмінний від нуля, то система має розв'язок, інакше розв'язків немає. Можете спробувати розрахувати ці визначники або знайти їхні значення за допомогою методу обчислення визначників.