СРОЧНО!
Тіло, підвішене на довгій нерозтяжній нитці, здійснює гармонічні незатухаючі коливання. Рівняння руху цих коливань має вигляд x=0,04cos(πt/2). Визначити амплітуду, період і частоту коливань, максимальні швидкість та прискорення, довжину маятника. Якою повинна бути маса тіла, підвішеного до пружини, жорсткість якої 25Н/м, щоб воно здійснювало коливання з таким же періодом як і нитяний маятник?
Ответы
Ответ:
Для розв'язання цієї задачі використовуємо дане рівняння руху для гармонічних коливань:
\[ x(t) = A \cos(\omega t) \]
де:
- \( x(t) \) - відхилення від положення рівноваги у момент часу \( t \),
- \( A \) - амплітуда коливань,
- \( \omega \) - кругова частота (в даному випадку \( \omega = \frac{\pi}{2} \)).
З рівняння видно, що амплітуда коливань \( A = 0.04 \). Кругова частота \( \omega = \frac{\pi}{2} \), отже, період коливань \( T \) визначається як \( T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{4}{\pi} \).
Тепер можемо визначити частоту коливань \( f \), максимальну швидкість \( v_{\text{max}} \) та максимальне прискорення \( a_{\text{max}} \) за допомогою наступних формул:
\[ f = \frac{1}{T} \]
\[ v_{\text{max}} = A \omega \]
\[ a_{\text{max}} = A \omega^2 \]
Довжина маятника \( L \) для нитяного маятника можна знайти за формулою:
\[ L = \frac{g}{\omega^2} \]
де \( g \) - прискорення вільного падіння, приблизно 9.8 м/с².
Тепер, щодо пружини, період коливань пружинного маятника залежить від маси \( m \) і жорсткості пружини \( k \) за формулою:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]
Вам відома жорсткість пружини \( k = 25 \, \text{Н/м} \) і період коливань \( T \) з нитяного маятника. Масу \( m \) можна знайти, використовуючи цю формулу. Підставимо відомі значення і вирішимо рівняння відносно \( m \).