Question

Висота і бісектриса прямокутного трикутника, проведені з вершини прямого кута, дорівнюють відповідно 3см і 4см. Знайти площу трикутника (у см2).

Відповідь: 72
рішення напишіть будь ласка

Answer 1

Катеты a, b ; гипотенуза c ; высота H ; биссектриса L

Биссектриса делит треугольник на два треугольника с углами 45.

По формуле площади через синус (sin45 =1/√2)

1/2 aL/√2 + 1/2 bL/√2 = 1/2 cH => (a+b)L/√2 = cH

Возведем обе части в квадрат

(a+b)^2 L^2 /2 = c^2 H^2

Учитывая, что (a+b)^2 =a^2+b^2 +2ab =c^2 +2ab

(c^2 +2ab) L^2 /2 = c^2 H^2

По формуле площади ab =cH

(c^2 +2cH) L^2 /2 = c^2 H^2

=> cL^2 +2HL^2 = 2cH^2

=> с= 2HL^2/(2H^2-L^2)

S =cH/2 =H^2*L^2/(2H^2-L^2) = 9*16/(2*9-16) =72