Знайти точки екстремуму функції y=x^4-2x^2 +1
Ответы
Ответ:
Для нахождения точек экстремума функции \(y = x^4 - 2x^2 + 1\), нужно взять производную и приравнять ее к нулю:
\[y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)\]
Теперь приравняем \(y'\) к нулю и найдем значения \(x\):
\[4x(x^2 - 1) = 0\]
Отсюда получаем два критических значения: \(x = 0\) и \(x = \pm 1\).
Теперь проверим знаки производной в окрестностях этих значений:
1. Для \(x < -1\), берем \(x = -2\), например. Тогда \(y' = 4(-2)((-2)^2 - 1) < 0\).
2. Между \(-1\) и \(0\), берем \(x = -0.5\), например. Тогда \(y' = 4(-0.5)((-0.5)^2 - 1) > 0\).
3. Между \(0\) и \(1\), берем \(x = 0.5\), например. Тогда \(y' = 4(0.5)((0.5)^2 - 1) > 0\).
4. Для \(x > 1\), берем \(x = 2\), например. Тогда \(y' = 4(2)((2)^2 - 1) > 0\).
Таким образом, у нас есть максимум в точке \(x = -1\) и минимум в точке \(x = 1\). Теперь подставим эти значения \(x\) обратно в исходную функцию, чтобы получить соответствующие значения \(y\).