Question

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7:5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Позначимо бокову сторону равнобедренного треугольника через \( a \). Так як сторона разбита точкою касання вписаної окружності на дві частини відношенням 7:5, то можна вважати, що відстань від вершини треугольника до точки касання дорівнює \( 7x \), а від точки касання до основи треугольника - \( 5x \).

Отже, можна скласти рівняння на основі суми сторін треугольника:

\[ a + 7x + 5x = 68 \]

Розв'язавши це рівняння, отримаємо значення \( x \), а потім можемо знайти довжину бокової сторони \( a \) та інші сторони треугольника.

\[ a + 12x = 68 \]

\[ a = 68 - 12x \]

Тепер, щоб знайти значення \( x \), можна використовувати той факт, що відстань від вершини треугольника до точки касання утворює прямий кут з відповідною радіусом вписаної окружності:

\[ \frac{7x}{a} = \tan\left(\frac{\angle A}{2}\right) \]

Де \( \angle A \) - кут при вершині треугольника. Так як треугольник рівнобедрений, можна вважати, що \( \tan\left(\frac{\angle A}{2}\right) = \frac{5x}{a} \).

Підставивши вираз для \( a \), отримаємо:

\[ \frac{7x}{68-12x} = \frac{5x}{68-7x} \]

Розв'язавши це рівняння, знайдемо значення \( x \) та подальше розв'язання для \( a \), інших сторін треугольника.