Question

Выполняя задания, необходимо записывать подробное решение.

В заданиях 2, 3 и 4 необходимо выполнить рисунок.
Задание 3.

Около четырёхугольника ABCD описана окружность, причём AD – диаметр окружности. Зная, что ∠ABC = 112°, ∠BCD = 128°, найдите:

а) ∠BAD (11 баллов);

б) ∠СAD (11 баллов);

в) ∠BDA (11 баллов).



Задание 4.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. ∠ACB = 30°, ∠CBA = 50°, BM = 4 см. Выполните рисунок и найдите:

а) длину биссектрисы AM (10 баллов);

б) длину стороны AС (12 баллов);

в) радиус окружности, описанной около треугольника ABC (11 баллов).

Answer 1

Ответ:

3.   а)   ∠BAD = 52°;   б)   ∠CAD = 22°;   в)   ∠BDA = 38°.

4.   а)   АМ = 4 см;   б)   АС = 7,84 см;   в)   R = 5,09 см.

Объяснение:

Задание 3.

Около четырёхугольника ABCD описана окружность, причём AD – диаметр окружности. Зная, что ∠ABC = 112°, ∠BCD = 128°, найдите:

а) ∠BAD;   б) ∠СAD;   в) ∠BDA.

Дано: ABCD;

Окр.О - описана около ABCD;

AD - диаметр;

∠ABC = 112°, ∠BCD = 128°

Найти: а) ∠BAD;   б) ∠СAD;   в) ∠BDA.

Решение:

а) ∠BAD

∠BCD = 128° - вписанный;

• Вписанный угол равен половине градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒   ◡ВАD = 2 · 128 = 256°

• Градусная мера окружности равна 360°.

⇒   ◡BCD = 360° - 256° = 104°

∠BAD - вписанный, опирается на ◡BCD

⇒   ∠BAD = 104° : 2 = 52°

б)   ∠СAD

• Сумма углов четырехугольника равна 360°.

⇒   ∠D = 360° - (52° + 112° + 128°) = 68°

• Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90°.

⇒   ∠ACD = 90°

ΔACD - прямоугольный.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒   ∠CAD = 90° - 68° = 22°

в)   ∠BDA

∠ABD - вписанный, опирается на диаметр.

⇒   ΔABD - прямоугольный.

∠BDA = 90° - 52° = 38°

Задание 4.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. ∠ACB = 30°, ∠CBA = 50°, BM = 4 см. Выполните рисунок и найдите:

а) длину биссектрисы AM;   б) длину стороны AС;

в) радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Дано: ΔАВС;

АМ - биссектриса;

∠ACB = 30°, ∠CBA = 50°, BM = 4 см.

Найти: а) АМ;   б) АС;   R описанной окружности около ΔАВС.

Решение:

а) АМ

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒   ∠А = 180° - (50° + 30°) = 100°

АМ - биссектриса   ⇒   ∠ВАМ = ∠МАС = 50°

Рассмотрим ΔАВМ.

∠ВАМ = ∠В = 50°

• Если в треугольнике два равных угла, то он равнобедренный.

⇒   ВМ = АМ = 4 см.

б) АС

Рассмотрим ΔАМС.

∠АМС = 180° - (30° + 50°) = 100°

• Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\displaystyle \frac{AM}{sin\;30^0} =\frac{AC}{sin\;100^0} \\\\sin\;100\approx 0,98\\\\AC=\frac{4\cdot 0,98}{0,5}\approx 7,84\;_{(CM)}$

в)  R описанной окружности около ΔАВС.

• Отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

$\displaystyle \frac{AC}{sin\;50^0}=2R\\ \\sin\;50^0\approx 0,77\\\\R=\frac{7,84}{0,77\cdot2} \approx 5,09\;_{(CM)}$

#SPJ1