Question

Допоможіть будь-ласка Площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди 160 см2.Знайти площу повної поверхні, якщо довжина ребра основи 20 см

Answer 1

Площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди 160 см2.Знайти площу повної поверхні, якщо довжина ребра основи 20 см.

Используем формулу площади боковой поверхности пирамиды.

Sбок = (1/2)PA.

Примем длину стороны основания пирамиды (это равносторонний треугольник) за а. Периметр Р = 3а, отсюда Sбок = (1/2)*3а*A = (3/2)аА.

Приравняем (3/2)аА = 160, апофема А = 160/((3/2)а) = 320/(3а).

Далее переходим к боковому ребру. Его проекция на основание равна (2/3) высоты h основания.

h = a*cos 30° = a√3/2.

Тогда проекция Lo бокового ребра L на основание равна (2/3)*(a√3/2) = a√3/3.

Теперь используем равенство высоты H пирамиды двум значениям по формулам:

H² = A² - ((1/3)h)²,

H² = L² - ((2/3)h)².

Получаем  A² - ((1/3)h)² = L² - ((2/3)h)².

Подставляем: А = 320/(3а), (2/3)h = a√3/3, (1/3)h = (1/3)(a√3/2) = a√3,  L = 20.

(320/(3а))² - ( a√3/6)²  = 20² - (a√3/3)².

Раскроем скобки и приведём подобные:

102400 - 3a^2 = 400 - 3a^2

9a^2     36         9

4*102400 – 3a^2 = 36*400  - 4*3a^2

4*9a^2        36                 36     4*9

4*102400 – 3a^2*a^2  = 36*400*a^2  - 12*a^2*a^2

 36a^2        36a^2                  36a^2              36a^2

409600 - 3a^4 = 14400a^2 - 12a^4  

       

9a^4 - 14400a^2 + 409600  = 0.

Делаем замену a^2 = р.

Получаем квадратное уравнение: 9р^2 – 14400р + 409600  = 0.

Ищем дискриминант:

D=(-14400)^2-4*9*409600=207360000-4*9*409600=207360000-36*409600=207360000-14745600=192614400;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

p_1=(√192614400-(-14400))/(2*9)=( √192614400+14400)/(2*9)=( √192614400+14400)/18=√192614400/18+14400/18=√192614400/18+800≈1571.03105572272 ;

p_2=(-√192614400-(-14400))/(2*9)=(- √192614400+14400)/(2*9)=(- √192614400+14400)/18=-√192614400/18+14400/18=-√192614400/18+800≈28.968944277283.

Обратная замена: а1 = √р1 = √1571.03105572272 = 39,63623,

                              а2 = √р2 = √28.968944277283 = 5,382281.

Так как получили 2 решения, то задача имеет 2 ответа.

So(1) = a^2√3/4 = 680,2764 см²

Это значение не соответствует заданию.

So(2) = a^2√3/4 = 12,5439  см²

Sпoлн(2) = So(2) + Sбок = 172,5439 см².