Две деревни A и B расположены на разных берегах прямого участка реки. Ширина реки равна 50 м. Нужно соединить деревни дорогой. Известно, что мост через реку можно строить в любом месте реки. Причём длина моста предполагается также равной 50 м. Расстояние от деревни A до реки равно 280 м, а от деревни B – 420 м. В какой точке на реке, ближайшей от деревни A , нужно построить мост, чтобы длина дороги была минимальной, если расстояние между ближайшими к деревням точками по берегу реки равно 2400 м?
Ответы
Відповідь:
Давайте обозначим расстояние от деревни A до точки на реке, где будет построен мост, как
�
x. Тогда расстояние от точки на реке до деревни B будет равно
2400
−
�
2400−x.
Для минимизации длины дороги, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного расстояниями от деревни A до реки, от точки на реке до деревни B и от деревни B до реки.
Теорема Пифагора:
�
2
=
�
2
+
�
2
c
2
=a
2
+b
2
где
�
c - гипотенуза,
�
a и
�
b - катеты.
В данном случае:
5
0
2
=
�
2
+
(
2400
−
�
)
2
50
2
=x
2
+(2400−x)
2
Решим уравнение для
�
x:
2500
=
�
2
+
240
0
2
−
4800
�
+
�
2
2500=x
2
+2400
2
−4800x+x
2
2
�
2
−
4800
�
+
240
0
2
−
2500
=
0
2x
2
−4800x+2400
2
−2500=0
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для удобства, давайте поделим все коэффициенты на 2:
�
2
−
2400
�
+
240
0
2
−
1250
=
0
x
2
−2400x+2400
2
−1250=0
Теперь используем квадратное уравнение:
�
=
−
�
±
�
2
−
4
�
�
2
�
x=
2a
−b±
b
2
−4ac
где
�
=
1
,
�
=
−
2400
,
�
=
240
0
2
−
1250
a=1,b=−2400,c=2400
2
−1250.
�
=
2400
±
(
−
2400
)
2
−
4
⋅
1
⋅
(
240
0
2
−
1250
)
2
⋅
1
x=
2⋅1
2400±
(−2400)
2
−4⋅1⋅(2400
2
−1250)
�
=
2400
±
5760000
−
4
(
5760000
−
1250
)
2
x=
2
2400±
5760000−4(5760000−1250)
�
=
2400
±
5760000
−
4
⋅
5758750
2
x=
2
2400±
5760000−4⋅5758750
�
=
2400
±
5760000
−
23000
2
x=
2
2400±
5760000−23000
�
=
2400
±
5737000
2
x=
2
2400±
5737000
�
=
2400
±
2395
2
x=
2
2400±2395
Таким образом, у нас есть два возможных значения
�
x:
�
=
2400
+
2395
2
=
4795
2
=
2397.5
x=
2
2400+2395
=
2
4795
=2397.5
�
=
2400
−
2395
2
=
5
2
=
2.5
x=
2
2400−2395
=
2
5
=2.5
Таким образом, у нас есть две точки на реке, где можно построить мост: в точке 2.5 м от деревни A и в точке 2397.5 м от деревни A. Точка 2397.5 м ближе к деревне A, поэтому строим мост в этой точке.
Пояснення: