Question

470. Найдите первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (cn), для которой:

Answer 1

Ответ:

а) $\tt \displaystyle c_1=\frac{1}{9}$

б) c₁ = 0,4 или c₁ = 0,6

в) c₁ = 4,8

Объяснение:

Информация. Верны свойства:

• Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле $\tt \displaystyle c_n=c_1\cdot q^{n-1}.$
• Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрессии, деленному на разность между единицей и знаменателем этой прогрессии:  $\tt \displaystyle S=\frac{c_1}{1-q} .$

Решение. а) Даны S = 0,2 и $\tt \displaystyle q = \frac{4}{9} .$ Из формулы суммы определим первый член b₁ геометрической прогрессии:

$\tt \displaystyle 0,2=\frac{c_1}{1-\dfrac{4}{9} } \\\\\frac{c_1}{\dfrac{5}{9} }=\frac{1}{5} \\\\ c_1=\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{9} =\frac{1}{9} .$

б) Даны S = 0,5 и c₁+c₂ = 0,48. Применим формулы суммы и общего члена получим систему уравнений:

$\tt \displaystyle \left \{ {{0,5=\dfrac{c_1}{1-q} } \atop {c_1+c_1 \cdot q=0,48}} \right. \\\\\left \{ {{1-q=2 \cdot c_1} \atop {c_1+c_1 \cdot q=0,48}} \right. \\\\\left \{ {{q=1-2 \cdot c_1} \atop {c_1+c_1 \cdot (1-2 \cdot c_1)=0,48}} \right. \\\\ c_1+c_1 -2 \cdot c_1^2=0,48 \\\\c_1^2-c_1 +0,24=0\\\\ c_1 =0,4 \lor c_1=0,6.$

в) Даны S = 6,4 и c₁+c₂+c₃ = 6,3. Применим формулы суммы и общего члена получим систему уравнений:

$\tt \displaystyle \left \{ {{6,4=\dfrac{c_1}{1-q} } \atop {c_1+c_1 \cdot q+c_1 \cdot q^2=6,3}} \right. \\\\\\ \left \{ {{1-q=\dfrac{c_1}{6,4} } \atop {c_1+c_1 \cdot q+c_1 \cdot q^2=6,3}} \right. \\\\\\\left \{ {{1-q=\dfrac{c_1}{6,4} } \atop {c_1 \cdot (1+q+q^2)=6,3}} \right.\\\\\\\left \{ {{1-q=\dfrac{c_1}{6,4} } \atop {c_1 \cdot (1+q+q^2) \cdot (1-q)=6,3 \cdot (1-q)}} \right.$

$\tt \displaystyle \left \{ {{1-q=\dfrac{c_1}{6,4} } \atop {c_1 \cdot (1-q^3)=6,3 \cdot \dfrac{c_1}{6,4}}} \right.$

$\tt \displaystyle \left \{ {{1-q=\dfrac{c_1}{6,4} } \atop {1-q^3= \dfrac{6,3}{6,4}}} \right. \\\\ \left \{ {{1-q=\dfrac{c_1}{6,4} } \atop {q^3= 1-\dfrac{6,3}{6,4}}} \right. \\\\ \left \{ {{1-q=\dfrac{c_1}{6,4} } \atop {q^3= \dfrac{0,1}{6,4}}} \right. \\\\ \left \{ {{c_1=6,4 \cdot (1-q) } \atop {q^3= \dfrac{1}{4^3}}} \right. \\\\ \left \{ {{c_1=6,4 \cdot (1-q) } \atop {q= \dfrac{1}{4}}} \right. \\\\c_1=6,4 \cdot (1-\dfrac{1}{4})=6,4 \cdot \dfrac{3}{4}=4,8.$

#SPJ1