Question

Скільки цифр 5 у своєму десятковому запису має число Ѕ?

S= 1 + 10 + 19 + 28 +***+10^2013

Answer 1

Ответ:

4026

Объяснение:

Имеем арифметическую прогрессию с разностью 9.

Следовательно, эту сумму можно высчитать по формуле $S = \frac{a_1+a_n}{2}(\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)$, где $a_1$ первый член прогрессии, $a_n$ - член прогрессии, до которого необходимо посчитать, $a_2$ - второй член прогрессии. Подставим $a_1=1, a_2=10, a_n=10^{2013}:$

$\frac{1+10^{2013}}{2}(\frac{10^{2013}-1}{10-1}+1) = (5*10^{2013}+0.5)(10^{2013}+10^{2012}+\dots+10^1+10^0 + 1) = 5*10^{4026}+5*10^{4025}+\dots+5*10^{2014}+5*10^{2013} + 5*10^{2013}+0.5*10^{2013}+0.5*10^{2012}+...+0.5*10^0 +0.5*1 = 5*10^{4026}+\dots+5*10^{2013} + 5*10^{2012} + 5*10^{2011}+\dots+5*{10^1} + 0.5+0.5=5*10^{4026}+\dots+5*10^0+1$

Ну а теперь нам осталось только использовать то, что $5*10^{4026}+5*10^{4025}+...+5*10^{1}$ - это то же самое, что и $555\dots5550$, где пятёрок всего 4026.

Следовательно, $S = 555\dots5552$, где пятёрок всего 4026.

Вот и всё.