Question

Скласти рівняння дотичної до кривої y(x) у точці з абсцисою x0
y(x) = x − x^5, x0 = −2;

Answer 1

Рівняння дотичної до кривої y(x) у точці з абсцисою x0 має вигляд:

y - y0 = k(x - x0)

де k - кутовий коефіцієнт дотичної.

Для того, щоб знайти k, скористаємося формулою для похідної функції:

y'(x) = lim_{h->0} \frac{y(x + h) - y(x)}{h}

У нашому випадку,

y'(x) = lim_{h->0} \frac{(x + h) - (x + h)^5 - (x - x^5)}{h}

y'(x) = lim_{h->0} \frac{-x^5 - 5x^4 h - 10x^3 h^2 - 10x^2 h^3 - 5x h^4 - h^5}{h}

y'(x) = -x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x - 1

Тобто, кутовий коефіцієнт дотичної до кривої y(x) у точці з абсцисою x0 дорівнює значенню похідної функції y(x) у цій точці.

У нашому випадку, x0 = -2, тому:

y'(-2) = -(-2)^4 - 4(-2)^3 - 6(-2)^2 - 4(-2) - 1

y'(-2) = -30

Отже, рівняння дотичної до кривої y(x) у точці з абсцисою x0 = -2 має вигляд:

y - (-2) = -30(x - (-2))

y + 2 = -30x + 60

y = -30x + 58

Відповідь: y = -30x + 58