1. Знайти екстремум функції на заданому проміжку f(x)=3x^(2)-x^(3), [-2;4]
2. Знайти проміжки зростання та спадання та екстремуми функції f(x)=6x^(5)-15x^(4)+10x^(3)-4
Ответы
Ответ:
### Знаходження екстремуму для \(f(x) = 3x^2 - x^3\) на проміжку \([-2; 4]\)
1. Знайдемо похідну \(f'(x)\):
\[f'(x) = 6x - 3x^2\]
2. Знайдемо критичні точки, прирівнявши похідну до нуля та розв'язавши рівняння:
\[6x - 3x^2 = 0\]
Розв'язками є \(x = 0\) та \(x = 2\).
3. Визначимо знак похідної на кожному підінтервалі між критичними точками і поза ними. Для цього можна скористатися знаком факторів \(6x - 3x^2\). Наприклад:
- При \(x < 0\), \(6x - 3x^2 < 0\).
- При \(0 < x < 2\), \(6x - 3x^2 > 0\).
- При \(x > 2\), \(6x - 3x^2 < 0\).
4. З визначених проміжків можна скласти таблицю знаків для \(f'(x)\).
5. Визначимо знаки змінності \(f(x)\) на кожному з проміжків.
6. З критичних точок та кінців проміжку виберемо ті, що дають мінімальне та максимальне значення функції.
### Знаходження проміжків зростання та спадання та екстремумів для \(f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 4\)
1. Знайдемо похідну \(f'(x)\):
\[f'(x) = 30x^4 - 60x^3 + 30x^2\]
2. Знайдемо критичні точки, прирівнявши похідну до нуля та розв'язавши рівняння:
\[30x^4 - 60x^3 + 30x^2 = 0\]
Розв'язками можуть бути \(x = 0\) та \(x = 1\).
3. Визначимо знак похідної на кожному підінтервалі між критичними точками і поза ними. Для цього можна скористатися знаком факторів \(30x^4 - 60x^3 + 30x^2\).
4. З визначених проміжків можна скласти таблицю знаків для \(f'(x)\).
5. Визначимо знаки змінності \(f(x)\) на кожному з проміжків.
6. З критичних точок та кінців проміжку виберемо ті, що дають мінімальне та максимальне значення функції.