Question

Доведіть,що рівняння x^2+y^2+6x-2y-10=0 є рівнянням кола,та укажіть координати його центра і радіус.
Варіант 2
Перше завдання

Answer 1

Ответ:

Для доведення, що рівняння \(x^2+y^2+6x-2y-10=0\) є рівнянням кола, спробуємо переписати його у стандартній формі кола \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\), де \((a, b)\) - координати центру, а \(r\) - радіус.

Розглянемо частини рівняння:

\[x^2 + 6x + y^2 - 2y - 10 = 0\]

Групуємо за \(x\) та \(y\):

\[(x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) - 10 = 0\]

Доповнюємо до квадрату для \(x\) та \(y\):

\[(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) - 10 = 9 + 1\]

Отримали повне квадратичне вираження:

\[(x+3)^2 + (y-1)^2 = 20\]

Тепер порівняємо це зі стандартною формою кола:

\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\]

Отже, центр кола має координати \((-3, 1)\), а радіус дорівнює \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Таким чином, рівняння задає коло з центром в точці \((-3, 1)\) та радіусом \(2\sqrt{5}\).