Question

В правильні трикутній піраміді бічне ребро дорівнює / і нахилено до площини основи під кутом а. Знайдіть апофему цієї піраміди.

Answer 1

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно L и наклонено к плоскости основания под углом α. Найдите апофему этой пирамиды.

Объяснение:

1) Пусть АВСМ правильная пирамида,

МО- высота этой пирамиды ( МО ⊥(АВС).

Тогда О- центр правильного треугольника ⇒

О- точка песечения высот АН⊥ВС;

О- точка пересечения медиан , АО=2ОН.

2)Тк АН⊥ВС, то МН⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах⇒

МН-апофема пирамиды.

3)ΔАМО- прямоугольный .Тогда

МО=АМ*sin(∠МАО)=L*sin α ,

AО=АМ*cos(∠МАО)=L*cos α ⇒  ОН=0,5L*cos α.

3)ΔМОН- прямоугольный .Тогда  по теореме Пифагора имеем

МН=√(МО²+ОН²),

МН=√( L²*sin² α  +0,5²L²*cos² α)=

=L√( sin² α+$\frac{1}{4}$cos² α)=

=$\frac{1}{2}$L√( 4sin² α+cos² α)=

=$\frac{1}{2}$L√( 3sin²α+1)