Question

Знайти середнє значення функції.

Answer 1

Ответ:

среднее значение функции равно ln(4)-1

Объяснение:

теоремой о среднем.

• Если на определенном промежутке заданная функция непрерывна, то на этом промежутке найдется такая точка, для которой будет выполняться условие:

• $\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =(b-a)*f(c)$

Значение функции в точке с называют средним ее значением A(x) на отрезке от а до b.

$\displaystyle A(x)=f(c)=\frac{\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx }{b-a}$

Подставим наши значения

$\displaystyle A(x)=\frac{\displaystyle \int\limits^2_1 {ln(x)} \, dx }{2-1}=\int\limits^2_1 {ln(x)} \, dx =\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \int (f)dg=fg-\int (g)df\\f=ln(x) \quad df= \displaystyle \frac{1}{x} dx \\g=x\quad dg=dx\end{array}\right] =\\\\\\=xln(x)\bigg |_1^2-\int\limits^2_1 {x*\frac{1}{x} } \, dx =2ln(2)-ln(1)-x\bigg |_1^2= \boldsymbol {ln(4)-2-(-1)=ln(4)-1}$