Question

упростить выражение sin^2/sin^2-1*ctg^2 срочно даю 50 баллов​

Answer 1

Ответ:

Давайте упростим данное выражение:

\(\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x) - 1} \cdot \cot^2(x)\)

Для начала рассмотрим отношение \(\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x) - 1}\). Представим его в виде суммы двух дробей:

\(\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x) - 1} = \frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x) - 1} \cdot \frac{\sin^2(x) + 1}{\sin^2(x) + 1} = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1}\)

Теперь у нас получается:

\(\frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \cot^2(x)\)

Далее, заметим, что \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\). Поэтому,

\(\frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \cot^2(x) = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \left(\frac{1}{\tan(x)}\right)^2 = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\tan^2(x)}\)

Теперь мы можем записать \(\tan^2(x)\) в виде \(\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\):

\(\frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\tan^2(x)} = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}} = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\)

Теперь приведем общий знаменатель:

\(\frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos^2(x)}}{\frac{1}{\cos^2(x)}} = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)}\)

Теперь мы можем применить формулу тригонометрии \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\(\frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac{(\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 - \cos^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\sin^2(x) \cos^2(x)} = \frac{1 - \cos^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\sin^2(x) \cos^2(x)} = \frac{\sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\sin^2(x) \cos^2(x)}\)

На данном этапе мы видим, что \(\sin^2(x)\) сокращается:

\(\frac{\sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\sin^2(x) \cos^2(x)} = \frac{1}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)(\sin^4(x) - 1)}\)

Таким образом, мы упростили исходное выражение до \(\frac{1}{\cos^2(x)(\sin^4(x) - 1)}\).