Имеются две одинаковые черные пешки. Их поставили на две клетки шахматной доски 8 х 8 так, чтобы эти клетки не были соседними ни по вертикали, ни по горизонтали, ни по диагонали. Сколькими различными способами можно это сделать?
Уточнение: пешки не могут стоять рядом друг с другом именно в радиусе одной клетки, а не всей линии.
Ответы
Ответ:
1806.
Пошаговое объяснение:
У нас есть пешка первая и пешка вторая; сначала мы их будем различать, наклеив на них номера. Пешку с номером один будем ставить первой.
Есть три категории клеток на доске.
В первую входят четыре угловые клетки, у каждой из них по три соседа. Например, у клетки a1 соседями являются a2, b1 и b2, поэтому для второй пешки остается 64-4=60 клеток - все кроме a1, a2, b1, b2. Умножаем 4 на 60 и получаем 240 способов.
Во вторую категорию входят 24 клетки на краю доски, не являющиеся угловыми; у каждой из них 5 соседей. Например, у клетки a2 соседями являются a1, b1, b2, a3, b3, поэтому для второй пешки остается 64-6=58 клеток. Умножаем 24 на 58 и получаем 1392 способов.
В третью категорию входят все остальные клетки; их 36 штук. У каждой из них 8 соседей. Например, у клетки b2 соседями являются a1, a2, a3, b1, b3, c1, c2, c3, поэтому для второй пешки остается 64-9=55 клеток. Умножаем 36 на 55 и получаем 1980 способов.
Суммируя получившиеся числа, получаем
240+1392+1980=3612 способов.
Теперь вспоминаем, что пешки мы различаем только по номерам, поэтому если содрать с них наклейки, число различных расположений пешек уменьшится вдвое:
3612:2=1806.