Question

Найдите все решения уравнения в целых числах:
$xy^2+x=2x^{2023}+y^2+3$

Answer 1

Ответ:

Решений нет.

Объяснение:

                                   $y^2(x-1)=2x^{2023}-x+3.$

1-й случай. x=1; уравнение превращается в 0=4; решений нет.

2-й случай. x≠1;  $y^2=\dfrac{2x^{2023}-x+3}{x-1}=\dfrac{2(x^{2023}-1)-(x-1)+4}{x-1}=$

                              $=2(x^{2022}+x^{2021}+\ldots+x^2+x+1)-1+\dfrac{4}{x-1}.$

Поскольку мы ищем решения в целых числах, 4 должно делиться на

x-1, поэтому для x имеем такие возможности: 0; 2; 3; 5; -1; -3.

1) x=0⇒y²=-3<0; нет решений.

2) $x=2\Rightarrow y^2=2^{2024}+1=(2^{1012})^2+1 -$ нет решений (квадраты двух целых чисел находятся на расстоянии 1 только в случае чисел 0 и ±1.

3) $x=3\Rightarrow y^2=3^{2023} -$нет решений, поскольку в правой части 3 в нечетной степени.

4)    $x=5\Rightarrow y^2=\dfrac{5^{2023}-1}{2}=\dfrac{(5-1)(5^{2022}+5^{2021}+\ldots+5^2+5+1)}{2}=$

                                 $=2(5^{2022}+5^{2021}+\ldots+5^2+5+1).$

В скобке нечетное число нечетных слагаемых, поэтому их сумма является нечетным числом, поэтому в разложении правой части на простые множители есть только одна двойка, и поэтому правая часть не является полным квадратом.

5)  x=-1⇒y²=-1; нет решений.

6).              $x=-3\Rightarrow y^2=\dfrac{-2\cdot 3^{2023}+6}{-4}=\dfrac{3(3^{2022}-1)}{2}.$

Поскольку скобка в правой части на 1 отличается от степени тройки, она на 3 не делится, поэтому в разложении правой части на простые множитель 3 входит в первой степени, поэтому правая часть не является полным квадратом.

Вывод: решений в целых числах нет.

Замечание. В начале второго случая (то есть при  x≠1) можно было не раскладывать икс в 2023-й степени минус 1 в разность 2023-х степеней, а воспользоваться теоремой Безу, которая гласит, что остаток от деления многочлена (числителя дроби) на двучлен x-1 равен значению этого многочлена при x=1, то есть 4. Поэтому дробь равна целой части (то есть некоторому многочлену, вид которого нас не интересует) плюс остаток (то есть 4), деленный на (x-1).

Замечание. Мы пользовались формулой

                  $x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+x^2+x+1).$  

Для ее вывода можно воспользоваться известной формулой суммы геометрической прогрессии

                        $1+q+q^2+\ldots+q^{n-1}=\dfrac{1-q^n}{1-q}=\dfrac{q^n-1}{q-1}.$