4. В геометрической прогрессии (b,) известно, что д=2, а S, =635. а) Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.
b) Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии.
Ответы
Ответ:
a) Для геометрической прогрессии с известным знаменателем \( q \) и суммой первых \( n \) членов \( S_n \) используется формула:
\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]
У вас \( d = 2 \) и \( S_7 = 635 \). Мы можем решить это уравнение относительно первого члена \( b_1 \) и знаменателя \( q \).
\[ 635 = \frac{b_1(2^7 - 1)}{2 - 1} \]
\[ 635 = \frac{b_1 \cdot 127}{1} \]
\[ b_1 \cdot 127 = 635 \]
\[ b_1 = \frac{635}{127} \]
\[ b_1 = 5 \]
Таким образом, первый член \( b_1 \) равен 5, а знаменатель \( q \) равен 2.
b) Сумма первых семи членов геометрической прогрессии может быть найдена с использованием формулы:
\[ S_7 = b_1 \frac{q^7 - 1}{q - 1} \]
Подставим значения:
\[ 635 = 5 \frac{2^7 - 1}{2 - 1} \]
\[ 635 = 5 \cdot 127 \]
\[ 635 = 635 \]
Таким образом, сумма первых семи членов геометрической прогрессии действительно равна 635.