Question

40б!

Доведи, що висота, проведена з вершини гострого кута тупокутного трикутника, не належить трикутнику.

Answer 1

Розглянемо гострий трикутник \(ABC\) із вершинами \(A\), \(B\), \(C\) та гострим кутом при вершині \(A\). Нехай \(AD\) - висота, проведена з вершини \(A\) до гіпотенузи \(BC\).

Для того щоб довести, що висота \(AD\) не належить трикутнику, допустимо за припущенням, що вона належить трикутнику \(ABC\).

Оскільки висота \(AD\) проведена з вершини \(A\) до гіпотенузи \(BC\), трикутник \(ABD\) є подібним до трикутника \(ABC\). Згідно з властивостями подібних трикутників, спільні відношення сторін є постійними.

Але в тупокутному трикутнику \(ABC\) гіпотенуза \(BC\) є найбільшою стороною. Отже, висота \(AD\) буде меншою за відповідну відрізок \(BD\) у подібному трикутнику \(ABD\). Це суперечить припущенню, що висота \(AD\) належить трикутнику \(ABC\).

Отже, можемо прийняти, що висота, проведена з вершини гострого кута тупокутного трикутника, не належить трикутнику.