На тонком кольце равномерно распределен заряд с линейной плотностью заряда τ= 20 нКл/см. Радиус кольца R= 5 см. На перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из его середины, находится точечный заряд q = 40 нКл. Определить силу, действующую на точечный заряд со стороны заряженного кольца, если он уда¬лен от центра кольца на: I) а1= 10 см; 2) а2= 2 м.
Ответы
Ответ:
Сила, яка діє на точковий заряд \(q\) через взаємодію з зарядженим кільцем, може бути обчислена за допомогою закону Кулона.
Загальний вираз для сили між точковим зарядом \(q\) і малою частинкою довжини \(\Delta l\) кільця з лінійною плотністю заряду \(\tau\) на ньому може бути виражений як:
\[ dF = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q \cdot \tau \cdot \Delta l}{r^2} \]
де:
- \( \epsilon_0 \) - електрична константа (пермітність вакууму),
- \( q \) - заряд точкового заряду,
- \( \tau \) - лінійна плотність заряду кільця,
- \( \Delta l \) - елемент довжини кільця,
- \( r \) - відстань між точкою, де вимірюється сила, і елементом кільця.
Для кільця радіусом \(R\) і відстані від центра точкового заряду \(a\), можемо виразити \(\Delta l\) у вигляді \(2\pi R \cdot d\theta\), де \(\theta\) - кут, який займає частинка кільця.
\[ dF = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q \cdot \tau \cdot 2\pi R \cdot d\theta}{(R^2+a^2)^{3/2}} \]
Інтегруючи це відносно \(\theta\) від \(0\) до \(2\pi\), отримуємо силу, що діє на точковий заряд від усього кільця.
\[ F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q \cdot \tau \cdot 2\pi R}{(R^2+a^2)^{3/2}} \]
Тепер можемо підставити значення \(q\), \(\tau\), \(R\) і визначити силу для кожного значення \(a\):
1. \( a_1 = 10 \ \text{см} \)
\[ F_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{(40 \times 10^{-9} \ \text{Кл}) \cdot (20 \times 10^{-9} \ \text{Кл/cm}) \cdot (2\pi \times 5 \ \text{см})}{(5^2 + 0.1^2)^{3/2}} \]
2. \( a_2 = 2 \ \text{м} \)
\[ F_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{(40 \times 10^{-9} \ \text{Кл}) \cdot (20 \times 10^{-9} \ \text{Кл/cm}) \cdot (2\pi \times 5 \ \text{см})}{(5^2 + 200^2)^{3/2}} \]
Врахуйте, що в розрахунках необхідно використовувати відому константу \( \epsilon_0 \), яка дорівнює приблизно \(8.85 \times 10^{-12} \ \text{Кл}^2/\text{Н}\cdot\text{м}^2\).