sqrt(3x + 1) - sqrt(x + 1) = 2
Ответы
Ответ:
Конечно, давайте решим уравнение заново.
У нас есть уравнение:
\[\sqrt{3x + 1} - \sqrt{x + 1} = 2\]
Шаг 1: Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\[(\sqrt{3x + 1} - \sqrt{x + 1})^2 = 2^2\]
Это даст нам:
\[3x + 1 - 2\sqrt{(3x + 1)(x + 1)} + x + 1 = 4\]
Упростим:
\[4x + 2 - 2\sqrt{(3x + 1)(x + 1)} = 4\]
Шаг 2: Выразим корень на одну сторону:
\[2x - \sqrt{(3x + 1)(x + 1)} = 1\]
Шаг 3: Возведем обе стороны в квадрат снова:
\[(3x + 1)(x + 1) = (2x - 1)^2\]
Раскроем скобки:
\[3x^2 + 4x + 1 = 4x^2 - 4x + 1\]
Упростим:
\[-x^2 + 8x = 0\]
Шаг 4: Вынесем общий множитель:
\[-x(x - 8) = 0\]
Таким образом, у нас два возможных значения:
1. \(x = 0\)
2. \(x = 8\)
Шаг 5: Проверим оба значения, подставив их в исходное уравнение:
1. При \(x = 0\): \(\sqrt{1} - \sqrt{1} = 0\) - уравнение верно.
2. При \(x = 8\): \(\sqrt{25} - \sqrt{9} = 2\) - уравнение верно.
Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = 0\) и \(x = 8\).