Question

сума кутів при одній із сторін трикутника дорівнює 90°. доведіть що його висота до цієї сторони є середнім пропорційним між проекціями двох інших сторін на дану​

Answer 1

Розглянемо трикутник ABC, де кут при стороні BC дорівнює 90°. Нехай H - висота, опущена з вершини A на сторону BC.
За теоремою про суму кутів у трикутнику, кут при вершині A складається з кутів при B та C, отже, A = B + C. Але ми знаємо, що B + C = 90°, оскільки це прямокутний трикутник.
Тепер розглянемо проекції сторін AB та AC на сторону BC. Нехай D та E - ці проекції.
Оскільки A = B + C і B + C = 90°, то ми можемо сказати, що A = 90°.
Розглянемо подібні трикутники ABC і ADE (за подібністю трикутників ABD та ACD). У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні.
Зокрема, відношення висоти H до сторони BC буде таким же, як відношення відповідних сторін трикутників ABC та ADE.
Таким чином, ми довели, що висота H до сторони BC є середнім пропорційним між проекціями двох інших сторін AB та AC на дану сторону BC.