Продуктивність праці робітника протягом 6-годинного робочого дня описується квадратичною параболою: f(t) = 3t² + 18t, t ∈ [0; 6]. Знайди виробіток робітника за весь робочий день, за третю годину роботи та за останню годину роботи. Проведи економічний аналіз завдання. Для цього намалюй графік продуктивності праці й виробітку від часу. Дай відповідь на запитання. Якби протягом усього дня робота велася з максимальною продуктивністю, то чому дорівнював би денний виробіток? На скільки відсотків денний виробіток виявився меншим за максимальний?
Ответы
Ответ:
Виробіток робітника за весь робочий день можна знайти, інтегруючи функцію продуктивності праці від 0 до 6 годин. Інтеграл від функції f(t) = 3t² + 18t від 0 до 6 дорівнює:
∫f(t) dt from 0 to 6 = ∫(3t² + 18t) dt from 0 to 6 = [t³ + 9t²] from 0 to 6 = 6³ + 9*6² - 0 = 216 + 324 = 540 (од. виробітку)
Таким чином, виробіток робітника за весь робочий день становить 540 одиниць виробітку.
Виробіток за третю годину роботи можна знайти, обчисливши інтеграл від функції f(t) від 2 до 3 годин:
∫f(t) dt from 2 to 3 = ∫(3t² + 18t) dt from 2 to 3 = [t³ + 9t²] from 2 to 3 = 3³ + 93² - (2³ + 92²) = 27 + 81 - 8 - 36 = 64 (од. виробітку)
Таким чином, виробіток за третю годину роботи становить 64 одиниці виробітку.
Виробіток за останню годину роботи можна знайти аналогічним чином, обчисливши інтеграл від функції f(t) від 5 до 6 годин:
∫f(t) dt from 5 to 6 = ∫(3t² + 18t) dt from 5 to 6 = [t³ + 9t²] from 5 to 6 = 6³ + 96² - (5³ + 95²) = 216 + 324 - 125 - 225 = 190 (од. виробітку)
Таким чином, виробіток за останню годину роботи становить 190 одиниць виробітку.
Максимальна продуктивність праці досягається при t = -b/2a = -18/(23) = -3 години, але це не входить в робочий інтервал [0; 6], тому максимальна продуктивність праці на робочому інтервалі досягається на кінцях інтервалу. Оскільки f(0) = 0, а f(6) = 36² + 18*6 = 216, то максимальна продуктивність праці на робочому інтервалі становить 216 од./год.
Якщо протягом усього дня робота велася з максимальною продуктивністю, то денний виробіток становив би 216 од./год * 6 год = 1296 од. виробітку.
Таким чином, денний виробіток виявився меншим за максимальний на (1296 - 540) / 1296 * 100% = 58.33%.
Графік продуктивності праці і виробітку від часу буде виглядати як парабола, що відкрита вниз, з вершиною, що знаходиться поза робочим інтервалом, і яка перетинає вісь часу в точках t = 0 і t = 6 годин. Графік виробітку від часу буде виглядати як парабола, що відкрита вгору, з вершиною в точці t = 0 і яка досягає максимуму в точці t = 6 годин.
Пошаговое объяснение: