Question

Обчислити інтеграл заміною змінних.

Answer 1

Ответ:

Вычислить определённый интеграл .

Применяем метод замены переменной в определённом интеграле .

$\bf \displaystyle \int\limits_4^{9}\ \frac{\sqrt{x}\, dx}{\sqrt{x}-1}=\Big[\ x=t^2\ ,\ dx=2t\, dt\ ,\ t=\sqrt{x}\ ,\ t(4)=\sqrt{4}=2\ ,\ t(9)=3\ \Big]=\\\\\\=\int\limits_2^3\frac{t\cdot 2t\, dt}{t-1}=2\int\limits_2^3\frac{t^2}{t-1}\, dt=2\int\limits_2^3\Big(t+1+\frac{1}{t-1}\Big)\, dt=\\\\\\=2\cdot \Big(\ \frac{t^2}{2}+t+ln\, |\, t-1\, |\ \Big)\Big|_2^3=\\\\\\=2\cdot \Big(\ \frac{9}{2}+3+ln\, |\, 2\, |\ \Big)-2\cdot \Big(\ \frac{4}{2}+2+ln\, |\, 1\, |\ \Big)=\\\\\\=9+6+2\, ln\, 2-4-4-2\cdot ln\, 1=7+ln\, 4$