Question

Обчислити інтеграл....

Answer 1

Решение .

Вычислить интеграл .

$\bf \displaystyle \int\limit_1^8\, \frac{2+\sqrt[3]{\bf x}}{x^3}\, dx=\int\limit_1^8\, \frac{2}{x^3}\, dx+\int\limit_1^8\, \frac{\sqrt[3]{\bf x}}{x^3}\, dx=2\int\limit_1^8\, x^{-3}+\int\limit_1^8\, x^{-\frac{8}{3}}\, dx=\\\\\\=\frac{x^{-2}}{-2}\Big|_1^8+\frac{3\ x^{-\frac{5}{3}}}{-5}\Big|_1^8=-\frac{1}{2}\cdot \Big(\frac{1}{8^2}-\frac{1}{1^2}\Big)-\frac{3}{5}\cdot \Big(\frac{1}{\sqrt[3]{\bf 8^5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{\bf 1^5}}\Big)=$  

$\bf \displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot \Big(\frac{1}{64}-1\Big)-\frac{3}{5}\cdot \Big(\frac{1}{8\sqrt[3]{\bf 64}}-1\Big)=-\frac{1}{128}+\frac{1}{2}-\frac{3}{160}+\frac{3}{5}=\\\\\\=\frac{-5+320-12+384}{640}=\frac{687}{640}$