Question

Найдите площадь фигуры, заданной параметрической функцией:
х=4cost
y=2sint

Answer 1

Вычисления дадут следующий результат:

\[ A = \int_{0}^{2\pi} 8 \sin t \cos t \, dt = 0 \]

Таким образом, площадь фигуры, заданной параметрической функцией \(x=4\cos t, y=2\sin t\), равна 0.

Пошаговое объяснение:

Чтобы найти площадь фигуры, заданной параметрической функцией, используем формулу для площади криволинейной трапеции:

\[ A = \int_{a}^{b} y \cdot dx \]

В данном случае, функции \(x\) и \(y\) заданы параметрически:

\[ x(t) = 4 \cos t \]

\[ y(t) = 2 \sin t \]

Пределы интегрирования исходят из интервала, на котором параметр \(t\) варьируется. Обычно, это от 0 до \(2\pi\), так как мы обычно рассматриваем полный оборот по окружности.

\[ A = \int_{0}^{2\pi} (2 \sin t) \cdot (4 \cos t)' \, dt \]

Теперь найдем производную \(4 \cos t\) и выполним интегрирование:

\[ A = \int_{0}^{2\pi} 8 \sin t \cos t \, dt \]

Вычислить этот интеграл можно с использованием тригонометрических тождеств. Результат будет представлен в виде числа.