185. а) Верно ли для любого острого угла а равенство: 1) tg²a - sin²a = tg²a • sin²a; 2) ctg²a - cos²a = ctg²a • cos²a? б) Докажите, что для любых острых углов а и B прямоугольного треугольника верно равенство: 1) sin a • sin B = cos a • cos B; 2)sin a • cos B + cos a • sin B = 1.
ПОМОГИТЕ!!
Ответы
Ответ:
а) Для решения данной задачи воспользуемся тригонометрическими тождествами.
1) Рассмотрим выражение tg²a - sin²a. Используя тригонометрическое тождество tg²a = 1 - cos²a, получим:
tg²a - sin²a = (1 - cos²a) - sin²a = 1 - cos²a - sin²a.
Теперь преобразуем правую часть выражения tg²a • sin²a:
tg²a • sin²a = (1 - cos²a) • sin²a = sin²a - cos²a • sin²a.
Мы видим, что выражения tg²a - sin²a и tg²a • sin²a не равны друг другу, так как правые части этих выражений различны. Следовательно, утверждение 1) неверно.
2) Рассмотрим выражение ctg²a - cos²a. Используя тригонометрическое тождество ctg²a = 1 + cos²a, получим:
ctg²a - cos²a = (1 + cos²a) - cos²a = 1.
Теперь преобразуем правую часть выражения ctg²a • cos²a:
ctg²a • cos²a = (1 + cos²a) • cos²a = cos²a + cos⁴a.
Мы видим, что выражения ctg²a - cos²a и ctg²a • cos²a равны друг другу, так как правые части этих выражений совпадают и равны 1. Следовательно, утверждение 2) верно.
б) Для доказательства данных равенств воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.
1) Рассмотрим выражение sin a • sin B - cos a • cos B. Используя тригонометрическое тождество cos a = sin(90° - a), получим:
sin a • sin B - cos a • cos B = sin a • sin B - sin(90° - a) • cos B.
Применим формулу для разности синусов:
sin a • sin B - sin(90° - a) • cos B = sin a • sin B - (sin 90° • cos a - cos 90° • sin a) • cos B.
Учитывая, что sin 90° = 1 и cos 90° = 0, получим:
sin a • sin B - (1 • cos a - 0 • sin a) • cos B = sin a • sin B - cos a • cos B.
Мы видим, что выражение sin a • sin B - cos a • cos B равно исходному выражению. Следовательно, утверждение 1) верно.
2) Рассмотрим выражение sin a • cos B + cos a • sin B. Используя тригонометрическое тождество sin(α + β) = sin α • cos β + cos α • sin β, получим:
sin a • cos B + cos a • sin B = sin(a + B).
Учитывая, что сумма углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, получим:
sin(a + B) = sin 90° = 1.
Таким образом, выражение sin a • cos B + cos a • sin B равно 1. Следовательно, утверждение 2) верно.
Таким образом, мы доказали, что для любых острых углов а и B прямоугольного треугольника верны равенства 1) sin a • sin B = cos a • cos B и 2) sin a • cos