Question

Даю 30 балів!!! З точки P до площини проведено дві рівні похилі PM і PN, кут між якими 60°, а кут між їх проекціями — 120°. Знайдіть відстань від точки P до площини і до прямої MN, якщо MN = a.​

Answer 1

З точки P до площини проведено дві рівні похилі PM і PN, кут між якими 60°, а кут між їх проекціями — 120°. Знайдіть відстань від точки P до площини і до прямої MN, якщо MN = a.​

Пусть проекция точки Р на плоскость - это точка О, середина отрезка MN – точка Е.

Треугольник MNО - равнобедренный (равные наклонные из одной точки имеют равные ортогональные проекции).

Углы M и N в этом треугольнике равны по (180 – 120)/2 = 30 градусов.

Тогда отрезок ЕО равен (a/2)*tg 30° = (a/2)*(√3/3) = a√3/6.

Этот отрезок является проекцией высоты РЕ (она же и медиана, и биссектриса) в треугольнике РMN (а он равносторонний со сторонами а, так как углы по 60 градусов).

Находим отрезок РЕ (его длина является расстоянием от точки Р до прямой MN).

РЕ  = a*cos (60/2) = a√3/2.

Теперь по теореме Пифагора можем найти расстояние от точки Р до плоскости (это длина отрезка РО).

РО = √(РЕ² - ЕО²) = √((a√3/2)² -(a√3/6)²) = √((3a²/4 - (3a²/36)) = √(24a²/36) = а√(2/3).