Question

На основі АС рівнобедреного трикутника АВС узято точки Е і К, так, що АЕ = СК. Доведіть, що ВЕ = ВК.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Ми хочемо довести, що BE = BK.

Розглянемо дві пари трикутників:

Трикутники ABE та CBK:

Знаємо, що AB = AC (оскільки ABC - рівнобедрений трикутник).

AE = CK (за умовою).

З тим, що трикутник ABC рівнобедрений, отримуємо, що кути при основі AB (тобто у трикутниках ABE та CBK) рівні.

З цього випливає, що трикутники ABE та CBK подібні за ознакою кутів (AA).

Трикутники ABE та BCK:

Знову, AE = CK (за умовою).

Також, кути при вершині B рівні (це спільний кут).

Кут при E (в трикутнику ABE) рівний куту при K (в трикутнику BCK), оскільки вони доповнюють один одного до 180 градусів.

Таким чином, трикутники ABE та BCK подібні за ознакою кутів (AA).

З обох пар подібностей випливає, що трикутники ABE, BCK та CBK подібні. Звідси отримуємо, що відношення відповідних сторін у цих трикутниках рівне, а отже, BE = BK.

Отже, ми довели, що якщо взяти точки E і K на основі AC так, щоб AE = CK, то в результаті відповідні сторони трикутників ABE і BCK будуть рівні: BE = BK.