Question

Помогите решить задачу:
sin³x + cos³x = ?
если sinx + cosx = A

Answer 1

Ответ:

$\sin^3x + \cos^3x=\dfrac{3A-A^3}{2}$

Решение:

Преобразуем искомое выражение, пользуясь формулой суммы кубов:

$\sin^3x + \cos^3x=(\sin x+\cos x)(\sin^2x+\cos^2x-\sin x\cos x)$

Сумма синуса и косинуса известна по условию, сумма их квадратов равна 1 в силу основного тригонометрического тождества. Остается найти произведение синуса и косинуса. Рассмотрим известное соотношение:

$\sin x + \cos x = A$

Возведем в квадрат:

$(\sin x + \cos x)^2 = A^2$

$\sin^2x + \cos^2x+2\sin x\cos x = A^2$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$1+2\sin x\cos x = A^2$

$2\sin x\cos x = A^2-1$

$\sin x\cos x = \dfrac{A^2-1}{2}$

Возвращаемся к искомой сумме и получим:

$\sin^3x + \cos^3x=(\sin x+\cos x)(\sin^2x+\cos^2x-\sin x\cos x)=$

$=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=A\cdot \left(1- \dfrac{A^2-1}{2}\right)=$

$=A\cdot \dfrac{2-A^2+1}{2}=A\cdot \dfrac{3-A^2}{2}=\boxed{\dfrac{3A-A^3}{2}}$