Question

Подати дріб у вигляді суми найпростіших дробів.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{2x^2-3x-3}{(x-1)(x^2-2x+5)}=\frac{3x-2}{x^2-2x+5}-\frac{1}{x-1}$

Объяснение:

Представить дробь в виде суммы простейших дробей.

$\displaystyle\bf \frac{2x^2-3x-3}{(x-1)(x^2-2x+5)}$

Приведем к общему знаменателю:

$\displaystyle \frac{2x^2-3x-3}{(x-1)(x^2-2x+5)}=\frac{Ax+B}{x^2-2x+5}^{(x-1}+\frac{C}{x-1}^{(x^2-2x+5}$

Избавимся от знаменателя:

$\displaystyle 2x^2-3x-3=Ax^2-Ax+Bx-B+Cx^2-2Cx+5C\\\\ 2x^2-3x-3=(A+C)x^2+(B-A-2C)x+(5C-B)$

Приравняем коэффициенты с одинаковыми степенями х.

Получим систему линейных уравнений при наличии определенных коэффициентов:

$\begin{equation*} \begin{cases}A+C=2\;\;\;\;\;(1) \\B-A-2C=-3\;\;\;\;(2) \\5C-B=-3\;\;\;\;\;(3) \end{cases}\end{equation*}$

Из (1) выразим А:

А = 2 - С

Из (3) выразим В:

В = 5С + 3

Подставим во (2):

5С + 3 - 2 + С - 2С = -3   ⇒   4С = -4  

⇒   С = -1;   А = 3;   В = -2

Получили сумму простейших дробей:

$\displaystyle \frac{2x^2-3x-3}{(x-1)(x^2-2x+5)}=\frac{3x-2}{x^2-2x+5}-\frac{1}{x-1}$