Question

Точка О лежить між паралельними площинами α і β. Прямі а і b, які проходять через точку О, перетинають площину а в точках A1 і B1, а площину β — в точках А2 і B2 відповідно. Знайдіть OB1, якщо А10 : А1А2 = 1 : 3, B1B2 = 15 см.

Answer 1

Ответ:

ОВ₁ = 5 см

Объяснение:

Точка О лежить між паралельними площинами α і β. Прямі а і b, які проходять через точку О, перетинають площину а в точках A1 і B1, а площину β — в точках А2 і B2 відповідно. Знайдіть OB1, якщо А10 : А1А2 = 1 : 3, B1B2 = 15 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ

1) Проведемо через прямі А₁А₂ і В₁В₂, що перетинаються в точці О, площину γ. Ця площина перетинає площину α по прямій А₁В₁, а площину ß - по прямій А₂В₂.

2) За властивістю паралельних площин маємо А₁В₁||А₂В₂.

3) Розглянемо △А₁ОВ₁ і △А₂ОВ₂

• ∠А₁В₁О=∠А₂В₂О - як внутрішні різносторонні кути, утворені при перетині паралельних А₁В₁ і А₂В₂ січною В₁В₂
• ∠А₁ОВ₁ = ∠А₂ОВ₂ - як вертикальні

Тому △А₁ОВ₁ ~ △А₂ОВ₂ - за двома кутами.

4) З подібності трикутників випливає пропорційність відповідних сторін:

$\dfrac{A_1O}{A_2O} = \dfrac{OB_1}{OB_2}$

Позначимо А₁О = х, тоді А₁А₂ = 3х, де х - коефіцієнт пропорційності, тоді:

А₂О = А₁А₂ - А₁О = 3х - х = 2х.

ОВ₂ = В₁В₂ - ОВ₁ = 15 - ОВ₁.

Маємо:

$\dfrac{x}{2x} = \dfrac{OB_1}{15 - OB_1}$

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{OB_1}{15 - OB_1}$

2 • ОВ₁ = 15 - ОВ₁

3 • ОВ₁ = 15

ОВ₁ = 5 (см)

ВІДПОВІДЬ: 5 см

#SPJ1