Question

поможіть будь ласка ​використавши правило Лопіталя

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \bigg(x^{\displaystyle \frac{1}{1-x} }\bigg)= e^{-1}}$

Пошаговое объяснение:

преобразуем формулу "под лимитом"

$\displaystyle \Large {x^{\displaystyle\frac{1}{1-x} }=e^{\displaystyle ln(x^{\displaystyle \frac{1}{1-x} })}=e^{\displaystyle\frac{1}{1-x}ln(x) }=e^{\displaystyle-\frac{ln(x)}{x-1}$

Теперь у нас получилось

$\displaystyle \lim_{x \to 1} e^{\displaystyle -\frac{ln(x)}{x-1} }=e^{\displaystyle \lim_{x\to 1} -\frac{ln(x)}{x-1} }=\boldsymbol {e^{\displaystyle - \lim_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x-1} }}$

рассмотрим получившийся в показателе степени предел.

$\displaystyle - \lim_{x \to1} \frac{ln(x)}{x-1} =-\frac{\displaystyle \lim_{x \to1} ln(x) }{\displaystyle \lim_{x \to 1} x-1 }$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} ln(x) = 0\\\\\\ \lim_{x \to1}(x-1) = 0$

получили неопределенность    $\displaystyle \frac{0}{0}$

применим правило Лопиталя

$\frac{\displaystyle \lim_{x \to1} ln(x) }{\displaystyle \lim_{x \to 1} x-1 }=\frac{ \displaystyle \lim_{x \to 1} (ln(x))' }{\displaystyle \lim_{x \to 1} (x-1)' } =\displaystyle \lim_{x \to 1} \bigg(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x} }{1}\bigg) = \lim_{x \to 1} \bigg( \frac{1}{x} \bigg) = 1$

итого в итоге мы по правилу Лопиталя вычислили предел

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \bigg(x^{\displaystyle \frac{1}{1-x} }\bigg)= e^{-1}}$