Question

1)Решите уравнение: sin2x=cos(3п/2+x) 

2) Найдите все корни, принадлежащие промежутку (4п/3 ; 4п]

Answer 1

sin2x=cos(3п/2+x) 
по формуле cos(3п/2+a)=-sina
cos(3п/2+x) =-sinx
sin2x=-sinx
2sinx*cosx=-sinx
разделим на sinx, при этом учитываем что корень уравнения sinx=0, тоже подходит
2cosx=-1
cosx=-1/2
x=arccos-1/2
x1=2п/3+2пn, n -целые числа и 
x2=4п/3+2пn, n -целые числа
решая уравнение sinx=0, получаем, что x=пn, n -целые числа
из промежутка (4п/3 ; 4п] нам подходят 2п, 8п/3, 3п, 10п/3, 4п
ответ: 2п, 8п/3, 3п, 10п/3, 4п

Answer 2

1)
$sin2x=cos(frac{3pi}{2}+x);\ 2sin xcos x=cosfrac{3pi}{2}cdotcos x-sinfrac{3pi}{2}cdotsin x;\ |sinfrac{3pi}{2}=-1; cosfrac{3pi}{2}=0;|\ 2sin xcos x=0cdotcos x-(-1)cdotsin x;\ 2sin xcos x=sin x;\ 2sin xcos x-sin x=0;\ sin x(2cos x-1)=0;\ 1) sin x=0 x=pi n, nin Z;\ 2) 2cos x-1=0;\ 2cos x=1;\ cos x=frac12;\ x=pmarccosfrac12+2pi k=pmfracpi3+2pi k. kin Z\ left[ {{x=pi n} atop {x=pmfracpi3+2pi k}} right. n,kin Z$
2)
$xin(frac{4pi}{3};4pi]=(pi+frac{pi}{3};4pi]\ 1) x=pi n; \ n=1:x=pinotin(frac{4pi}{3};4pi];\ n=2:x=2piin(frac{4pi}{3};4pi];\ n=3:x=3piin(frac{4pi}{3};4pi];\ n=4:xin(frac{4pi}{3};4pi];\ n=5:xnotin(frac{4pi}{3};4pi];$
$2) x=pmfrac{pi}{3}+2pi k;\ k=0:x=pmfracpi3notin(frac{4pi}{3};4pi];\ k=1: x=pmfrac{pi}{3}+2pi= left[ {{x=frac{5pi}{3}in(frac{4pi}{3};4pi];\} atop {x=frac{7pi}{3}in(frac{4pi}{3};4pi];\}} right. \ k=2:x=pmfracpi3+4pi= left[ {{x=frac{11pi}{3}in(frac{4pi}{3};4pi]} atop {x=frac{13pi}{3}notin(frac{4pi}{3};4pi]}} right.$
имеем такие ответы
$2) x=pmfrac{pi}{3}+2pi k;\ k=0:x=pmfracpi3notin(frac{4pi}{3};4pi];\ k=1: x=pmfrac{pi}{3}+2pi= left[ {{x=frac{5pi}{3}in(frac{4pi}{3};4pi];\} atop {x=frac{7pi}{3}in(frac{4pi}{3};4pi];\}} right. \ k=2:x=pmfracpi3+4pi= left[ {{x=frac{11pi}{3}in(frac{4pi}{3};4pi]} atop {x=frac{13pi}{3}notin(frac{4pi}{3};4pi]}} right. \ x=frac{5pi}{3}; 2pi; frac{7pi}{3}; 3pi; frac{11pi}{3}; 4pi$