Question

10.19." Зі 100 послідовних натуральних чисел вибрали 51 чис ло. Доведіть, що серед вибраних чисел такі числа а , що НСД (a; b) = 1 . 10.20

Answer 1

Відповідь:

Спростимо задачу: з 100 послідовних натуральних чисел вибрали 51 число. Ми повинні довести, що серед цих 51 числа є такі числа a, для яких НСД(a, b) = 1, де b - будь-яке інше число з вибраних 51.

Для доведення цього твердження можна скористатися теорією чисел. Розглянемо протилежне: всі вибрані числа є парними, тобто жодне з них не є непарним. Також, скажемо, що всі вони кратні якійсь простій p.

Якщо всі числа парні і кратні p, то і серед них, і серед їхніх найбільших спільних дільників (НСД) буде міститися проста p. Таким чином, протилежне твердження не може бути правдою.

Оскільки протилежне твердження не може бути правдою, наше початкове твердження виявляється правильним: серед 51 числа існують такі a, для яких НСД(a, b) = 1, де b - будь-яке інше число з вибраних 51.

Сподіваюся допоміг!