Кут між діагоналями рівнобедреної трапеції дорівнює 120°. Висота трапеції 10 м. Знайти діагоналі трапеції.
Ответы
Розглянемо рівнобічну трапецію ABCD, у якій кут між діагоналями AD і BC дорівнює 120°. Оскільки діагоналі рівнобедреної трапеції рівні, то діагоналі AD і BC рівні між собою і дорівнюють 2x.
Оскільки висота трапеції 10 м, то висота трапеції AD також дорівнює 10 м.
За теоремою косинусів для трикутника ABC маємо:
AC² = AB² + BC²- 2AB * BC * cos(120°)
AC² = AB² + BC² + 2AB * BC * (-1/2)
AC² = AB² + BC² - AB * BC
За теоремою косинусів для трикутника ACD маємо:
AD² = AC² + CD² - 2AC * CD * cos(120°)
AD² = AB² + BC² - AB * BC + CD² - 2AB * CD * (-1/2)
AD² = AB² + BC² + AB * BC + CD²
Оскільки AD = 2x, то маємо:
4x² = AB² + BC² + AB * BC + CD²
Звідси:
x² = (AB² + BC² + AB * BC) / 4
Оскільки AD = 10 м, то маємо:
100 = (AB² + BC² + AB * BC) / 4
400 = AB² + BC² + AB * BC
Це рівняння має два корені:
x1 = -10
x2 = 20
Оскільки діагоналі рівнобедреної трапеції рівні, то діагоналі AD і BC рівні між собою і дорівнюють 2x. Оскільки x2 > 0, то діагоналі трапеції дорівнюють 2 * 20 = 40 м.
Відповідь: діагоналі трапеції дорівнюють 40 м.