Question

50 БАЛЛОВ Найдите экстремумы функции и исследуйте на монотонность. Нужно нарисовать + и - на интервалах. Выделенное:

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1. Монотонность.

D(y) = { x ∈ R : x ≠ 1 }, т.к. (x-1)²≠0.

E(y) =  { y ∈ R : y ≥ 0 }, т.к. (-x)²>0; -x/-x > 0.

2. Экстремумы.

Первая производная.

$y' = \frac{(2x-6)(x-1)^{2}-(2x-2)(x^{2} -6x+9) }{(x-1)^{4} } = \frac{(2x-6)(x^{2} -2x+1)-(2x-2)(x^{2} -6x+9) }{(x-1)^{4} }$$=\frac{2x^{3}-4x^{2} +2x-6x^{2} +12x-6-(2x^{3}-12x^{2} +18x-2x^{2} +12x-18) }{(x-1)^{4} }$$=\frac{2x^{3}-4x^{2} +2x-6x^{2} +12x-6-2x^{3}+12x^{2} -18x+2x^{2} -12x+18 }{(x-1)^{4 } }$$=\frac{4x^{2} -16x+12}{(x-1)^{4} } = \frac{4(x^{2} -4x+3)}{(x-1)^{4}} =\frac{4(x-1)(x-3)}{(x-1)^{4}}= \frac{4(x-3)}{(x-1)^{3}}$

Нуль-функция производной.

y' = 0

4(x-3)=0, т.к. только верхняя часть должна быть равна нулю.

x=3

Экстремум.

Xэ= 3

Yэ= 0, т.к. 9-18+9=0 (верхняя часть уравнения функции).

Т.К. E(y) =  { y ∈ R : y ≥ 0 }, Хэ(3;0) - MIN.

3. Интервалы монотонности

   (-∞;1)  (1;3)  (3;+∞)

y'    +       -         +

y     ↑      ↓        ↑