Question

даю 10 балів срочно поможіть доведіть що 2²⁰²³+3²⁰²³ ділиться на 5​

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Требуется доказать, что 2²⁰²³+3²⁰²³ делиться на 5.

Информация. Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5.

Доказательство. Определим последние цифры чисел 2²⁰²³ и 3²⁰²³. Определим закономерность для последних цифр степеней 2. Последние цифры повторяются с шагом 4:

2¹ = 2                          2⁵ = 32 = ..2                   $\tt 2^{4 \cdot n+1} =..2$

2² = 4                         2⁶ = 64 = ..4                    $\tt 2^{4 \cdot n+2} =..4$

2³ = 8                         2⁷ = 128 = ..8                   $\tt 2^{4 \cdot n+3} =..8$

2⁴ = 16 = ..6                2⁸ = 256 = ..6                  $\tt 2^{4 \cdot n+4} =..6$

Тогда

$\tt 2^{2023} =2^{4 \cdot 505+3} =..8$.

Также определим закономерность для последних цифр степеней 3. Последние цифры повторяются с шагом 4:

3¹ = 3                          3⁵ = 243 = ..3                   $\tt 3^{4 \cdot n+1} =..3$

3² = 9                         3⁶ = 729 = ..9                    $\tt 3^{4 \cdot n+2} =..9$

3³ = 27 = ..7                3⁷ = 2187 = ..7                   $\tt 3^{4 \cdot n+3} =..7$

3⁴ = 81 = ..1                 3⁸ = 6561 = ..1                   $\tt 3^{4 \cdot n+4} =..1$

Тогда

$\tt 3^{2023} =3^{4 \cdot 505+3} =..7$.

Значит, последняя цифра суммы равна 8+7 = 15, то есть

2²⁰²³+3²⁰²³ = ..8+..7 = ..5.

Так как последняя цифра суммы равна 5, то по признаку делимости на 5 число 2²⁰²³+3²⁰²³ делится на 5, что и требовалось.

#SPJ1