Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО, ДАЮ 50 БАЛЛОВ
Помогите решить тригонометрическое неравенство на фото​

Answer 1

Ответ:

$x \in \left( \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k; \ \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k\right), \ k \in \mathbb{Z}$

Объяснение:

$2\times cos^2(x)-3 \times cos (x)-2 > 0\\\\=======\\t = cos(x)\\=======\\\\2t^2-3t-2 > 0\\\\2t^2-4t+t-2 > 0\\\\2t(t-2)+(t-2) > 0\\\\(2t+1)(t-2) > 0\\\\\begin{cases}2t+1 > 0\\t-2 > 0\end{cases}or \quad \begin{cases}2t+1 < 0\\t-2 < 0\end{cases}\\\\\\\begin{cases}2t > -1\\t > 2\end{cases} \quad or \quad \begin{cases}2t < -1\\t < 2\end{cases}\\\\\\\begin{cases}t > -\dfrac{1}{2}\\t > 2\end{cases}\quad \; or \quad \begin{cases}t < -\dfrac{1}{2}\\t < 2\end{cases}$

 $\bold{\Downarrow}$          $\bold{\Downarrow}$           $\bold{\Downarrow}$           $\bold{\Downarrow}$          

$t \in \left(-\infty; \ -\dfrac{1}{2}\right) \ \cup \ \left(2; \ +\infty\right)$

$\boxed{t < -\dfrac{1}{2} \ \cup \ t > 2}$

$cos(x) < -\dfrac{1}{2} \qquad \qquad \qquad \qquad or \qquad cos(x) > 2$

$y = cos(x); \quad y= -\dfrac{1}{2}; \qquad \qquad or$       Поскольку $cos(x) \in [-1; \ 1]$ , то $x \not\in \mathbb{R}$

Найдем точки

пересечения графиков:

$cos(x)=-\dfrac{1}{2}$

По таблице:

$x=\dfrac{2\pi}{3} \\\\x=\dfrac{4\pi}{3}$

Прибавим период:

$x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k, \ k\in \mathbb{Z} \\\\x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k, \ k\in \mathbb{Z}$            

По графику видим, что:

$\begin{cases}x > \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k, \ k\in \mathbb{Z} \\\\x < \dfrac{4\pi}{3}+2\pi k, \ k\in \mathbb{Z}\end{cases}$

 $\bold{\Downarrow}$          $\bold{\Downarrow}$           $\bold{\Downarrow}$           $\bold{\Downarrow}$          

$x \in \left( \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k; \ \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k\right), \ k \in \mathbb{Z}$