Question

Доказать что $n^{7}$-n делится на 7 при любом значении n (не использовать малую теорему Ферма)

Answer 1

Ответ:

-

Пошаговое объяснение:

Докажем по индукции.

Имеем функцию $f(n) = n^7 - n$. Вычислим $f(n+1) - f(n)$:

$f(n+1) = (n+1)^7 - n-1 = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1 - n - 1 = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n - n\\f(n) = n^7 - n\\\\f(n+1) - f(n) = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1 - n^7 = 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n = 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n)$

Мы обнаружили, что $f(n+1) - f(n)$ делится на 7. Следовательно, если при каком-то $n$ $f(n)$ делится на 7, то $f(n+1)$ будет также делиться на 7. И наоборот: если f(n) делится на 7, то f(n-1) будет также делиться на 7 (поскольку разность двух чисел, которые делятся на 7, также делится на 7)

Замечаем, что при $n = 0$ $f(n) = 0^7 - 0 = 0$ делится на 7. Следовательно, при любых других числах значение этой функции, то есть многочлена  $n^7 - n$ делится на 7.

Вот и всё!