Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 6 см, а діагональ бічної грані утворює з площиною основи кут 45°. знайдіть висоту й площу основи циліндра, описаного навколо цієї призми. ( з дано і малюнком)
Ответы
От
Основа правильної трикутної призми - це рівносторонній трикутник. Позначимо сторону основи як \(a\), тоді довжина бічної грані дорівнює \(a\sqrt{3}\).
За умовою, кут між діагоналлю бічної грані та площиною основи - 45°. Це вказує на те, що ми маємо рівносторонній трикутник. Тобто, \(a\sqrt{3}\) - це діагональ бічної грані.
Тепер, враховуючи властивості правильних трикутників, можемо визначити сторону основи \(a\):
\[ a\sqrt{3} = a\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) \]
\[ \sqrt{3} = \sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) \]
\[ a = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)} \]
Тепер, висота циліндра, описаного навколо цієї призми, буде дорівнювати висоті призми, тобто стороні основи \(a\).
Площа основи циліндра дорівнює площі основи призми:
\[ S_{\text{основи циліндра}} = a^2 \]
Отже, висота циліндра буде \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)}\), а площа основи циліндра - \(\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)}\right)^2\).