7 (3 бали). У ромбі ABCD з вершини тупого кута А проведено ви-
соти AM і AN до сторін DC і BC відповідно. Знайдіть
периметр ромба, якщо ZMAN = 60º, DM = 3 дм.
Ответы
Объяснение:
В ромбі з вершини тупого кута А проведено висоти AM і AN до сторін DC і BC відповідно. Оскільки у ромбі всі сторони рівні, позначимо довжину сторони ромба як \(a\).
Позначимо висоту AN як \(h_1\) та висоту AM як \(h_2\).
Оскільки ZMAN = 60º, то трикутник AMN є рівностороннім трикутником.
Таким чином, \(h_1 = h_2\) і \(MN = a\).
Тепер розглянемо трикутник ADM. Оскільки він прямокутний та DM = 3 дм, то за теоремою Піфагора \(AD = \sqrt{h_2^2 + DM^2}\).
Маємо \(AD = \sqrt{h_2^2 + 9}\).
Оскільки трикутник ADM також є рівнобедреним (оскільки AM - висота і рівна бісектрисі), то \(AD = AM\).
З отриманих виразів маємо:
\[AM = \sqrt{h_2^2 + 9}.\]
Оскільки AM = a, то рівняння:
\[a = \sqrt{h_2^2 + 9}.\]
Також, оскільки трикутник AMN рівносторонній, то \(h_2 = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Підставимо це значення в рівняння:
\[a = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 9}.\]
Розв'яжемо це рівняння для \(a\). Після розв'язку можна знайти периметр ромба, який рівний чотирьом довжинам його сторін.