Решите простейшие тригонометрическое неравенство 3ctgx+√3≤0
Ответы
Ответ:
Для решения данного тригонометрического неравенства, мы можем использовать следующий алгоритм:
1. Найдем все значения x, для которых ctg(x) равен 0 или не существует. Это происходит, когда sin(x) равен 0.
sin(x) = 0 при x = 0, π, 2π, ...
2. Рассмотрим интервалы между этими значениями x и определим знак ctg(x) на каждом из них.
На интервале (0, π) ctg(x) положителен, так как sin(x) и cos(x) имеют разные знаки.
На интервале (π, 2π) ctg(x) отрицателен, так как sin(x) и cos(x) имеют одинаковые знаки.
3. Теперь рассмотрим неравенство 3ctg(x) + √3 ≤ 0 на каждом из этих интервалов.
На интервале (0, π) неравенство принимает следующий вид: 3ctg(x) ≤ -√3.
Поскольку ctg(x) положительно на этом интервале, неравенство можно переписать как ctg(x) ≤ -√3/3.
На интервале (π, 2π) неравенство принимает следующий вид: 3ctg(x) ≥ -√3.
Поскольку ctg(x) отрицательно на этом интервале, неравенство можно переписать как ctg(x) ≥ -√3/3.
4. Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этим неравенствам на соответствующих интервалах.
На интервале (0, π) ctg(x) ≤ -√3/3 выполняется при x ∈ (π/6, 5π/6).
На интервале (π, 2π) ctg(x) ≥ -√3/3 выполняется при x ∈ (7π/6, 11π/6).
Таким образом, решением исходного тригонометрического неравенства 3ctg(x) + √3 ≤ 0 является объединение этих двух интервалов: x ∈ (π/6, 5π/6) ∪ (7π/6, 11π/6).