Question

Добрый вечер.
Можете помочь с работой.
Только не с чата GPT и не наугад.
Пожалуйста

Answer 1

4.1. Знайдемо значення тангенсу кута $\alpha$ за формулою $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Оскільки $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, то знайдемо значення синусу кута $\alpha$ за формулою $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 :$

$\[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.\]$

Отже, $\sin \alpha = \pm \frac{4}{5}$. Оскільки $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, то $\sin \alpha < 0$. Таким чином, $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$. Підставляючи ці значення в формулу для тангенсу, отримаємо:

$\[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}.\]$

4.2. Знайдемо значення виразу $\cot^2 \beta - \cos^2 \beta$. Оскільки $\sin \beta = 0.1$, то $\cos \beta = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \pm \sqrt{1 - 0.01} = \pm \sqrt{0.99}$. Оскільки $\cos \beta > 0$ (оскільки $\beta$ лежить в першій або другій чверті), то$\cos \beta = \sqrt{0.99}$. Тоді:

$\[\cot \beta = \frac{1}{\tan \beta} = \frac{1}{\frac{\sin \beta}{\cos \beta}} = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\sqrt{0.99}}{0.1} = 10\sqrt{0.99}.\]$

Отже,

$\[\cot^2 \beta - \cos^2 \beta = (10\sqrt{0.99})^2 - (\sqrt{0.99})^2 = 100 \cdot 0.99 - 0.99 = 99 - 0.99 = 98.01.\]$

4.3. Підставимо $x = 57^\circ$ у вираз $\sin^4 x + \sin^2 x \cos^2 x + \cos^2 x$:

$\[\sin 57^\circ = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 57^\circ = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}.\]$

Отже,

$\[\sin^4 57^\circ + \sin^2 57^\circ \cos^2 57^\circ + \cos^2 57^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{3}{16} + \frac{1}{4} = \frac{13}{8}.\]$