Question

Координати вершин піраміди A(2;1;0),B(3;1;3), C(4; 1;1), D(5; 1;2).

Answer 1

Координати вершин піраміди A(2;1;0), B(3;1;3), C(4; 1;1), D(5; 1;2).

1) Находим координаты векторов АВ и AD.

AB = B(3;1;3) - A(2;1;0) = (1; 0; 3), модуль равен  √(1² + 0² + 3²) =  √10.

AD = D(5; 1;2) - A(2;1;0) = (3; 0; 2), модуль равен  √(3² + 0² + 2²) =  √13.

Находим косинус угла А между векторами АВ и AD.

cos A = (1*3 + 0*0 + 3*2)/(√10*√13) = 9/√130.

Угол А = arccos(9/√130) = 0,661043 радиан или 37,87498 градусов.

2) Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

Вектор АВ = (1; 0; 3) по пункту 1).

Вектор АС = C(4; 1;1) - A(2;1;0) = (2; 0; 1).

Находим АВ х АС.

i       j      k|       i       j

1      0     3|      1      0

2      0     1|      2      0 = 0i + 6j + 0k – 1j – 0i – 0k = 0i + 5j + 0k.

Получено значение (0; 5; 0).

Модуль векторного произведения равен:

|АВ х АС| = √(0² + 5² + 0²) = 5.

Площадь АВС равна(5/2).

3) V(ABCD) = (1/6)(AB x AC) * AD =

               = (1/6)*  0     5     0

                            3     0     2

                              0     0     0   = (1/6)*0 = 0.

Это говорит о том, что точка  D находится на плоскости АВС и пирамида имеет нулевую высоту и, следовательно, нулевой объём.